用Octave判断函数可导性
广告
{{v.name}}
设\( f(x) = \cases{
\frac{ 2^{\frac{1}{x-1} } }{1+2^{\frac{1}{x-1} } }{\rm ln}x , & x > 0且 x≠ 1， \\
0 , & x = 1 ，
} \)讨论\( f(x) \)在\( x=1 \)处的可导性。
程序代码如下
function [text_result, numeric_result] = func37(x_value)
pkg load symbolic;
x = sym('x');
equation_1 = (2 ^ (1 / (x - 1))) / (1 + 2 ^ (1 / (x - 1))) * log(x);
equation_2 = 0;
if ((x_value > 0) && (x_value != 1))
question = equation_1;
elseif (x_value == 1)
question = equation_2;
else
error('Invalid input value.')
endif
d = diff(question, x);
x = x_value;
text_result = ["\n", disp(d)];
numeric_result = eval(d);
endfunction计算\( f^{'}_{-}(1) \)（\( f^{'}(0.99) \)），结果如下
>> [text_result, numeric_result] = func37(0.99)
text_result =
2 1 1
───── ───── ─────
x - 1 x - 1 x - 1
2 ⋅log(2)⋅log(x) 2 ⋅log(2)⋅log(x) 2
────────────────────── - ───────────────────── + ──────────────
2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞ ⎜ ───── ⎟ ⎜ ───── ⎟
⎜ ───── ⎟ ⎜ x - 1 ⎟ 2 ⎜ x - 1 ⎟
⎜ x - 1 ⎟ 2 ⎝2 + 1⎠⋅(x - 1) x⋅⎝2 + 1⎠
⎝2 + 1⎠ ⋅(x - 1)
numeric_result = 5.5752e-29计算\( f^{'}_{+}(1) \)（\( f^{'}(1.01) \)），结果如下
>> [text_result, numeric_result] = func37(1.01)
text_result =
2 1 1
───── ───── ─────
x - 1 x - 1 x - 1
2 ⋅log(2)⋅log(x) 2 ⋅log(2)⋅log(x) 2
────────────────────── - ───────────────────── + ──────────────
2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞ ⎜ ───── ⎟ ⎜ ───── ⎟
⎜ ───── ⎟ ⎜ x - 1 ⎟ 2 ⎜ x - 1 ⎟
⎜ x - 1 ⎟ 2 ⎝2 + 1⎠⋅(x - 1) x⋅⎝2 + 1⎠
⎝2 + 1⎠ ⋅(x - 1)
numeric_result = 0.9901\( f^{'}_{-}(1)=0 \)，\( f^{'}_{+}(1)=1 \).因为\( f^{'}_{-}(1) ≠ f^{'}_{+}(1) \)，所以\( f(x) \)在\( x=1 \)处不可导.
