用Octave判断函数可导性
广告
{{v.name}}
判断函数可导性

函数在某点可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等。判断函数可导性是微积分学习中的重要内容，理解其数学原理是掌握后续知识的基础。

数学上，这一概念通过严格的极限语言来定义，符号计算工具可以帮助我们快速验证和计算相关问题。

用Octave判断可导性

在Octave中，先用 diff() 尝试求导，再用 limit() 检查导数在可疑点处的左右极限是否相等。

通过下面的代码示例，你可以学习如何用Octave来判断可导性。Octave的Symbolic包提供了强大的符号计算能力，让我们能够专注于理解数学概念，而不是繁琐的手工计算。

设\( f(x) = \cases{ \frac{ 2^{\frac{1}{x-1} } }{1+2^{\frac{1}{x-1} } }{\rm ln}x , & x > 0且 x≠ 1， \\ 0 , & x = 1 ， } \)讨论\( f(x) \)在\( x=1 \)处的可导性。
程序代码如下
function [text_result, numeric_result] = func37(x_value)
    pkg load symbolic;
    x = sym('x');
    equation_1 = (2 ^ (1 / (x - 1))) / (1 + 2 ^ (1 / (x - 1))) * log(x);
    equation_2 = 0;
    if ((x_value > 0) && (x_value != 1))
        question = equation_1;
    elseif (x_value == 1)
        question = equation_2;
    else
        error('Invalid input value.')
    endif
    d = diff(question, x);
    x = x_value;
    text_result = ["\n", disp(d)];
    numeric_result = eval(d);
endfunction
计算\( f^{'}_{-}(1) \)（\( f^{'}(0.99) \)），结果如下
>> [text_result, numeric_result] = func37(0.99)
text_result =
        2                       1                           1
     ─────                   ─────                       ─────
     x - 1                   x - 1                       x - 1
    2     ⋅log(2)⋅log(x)    2     ⋅log(2)⋅log(x)        2
    ────────────────────── - ───────────────────── + ──────────────
                 2            ⎛   1      ⎞              ⎛   1      ⎞
    ⎛   1      ⎞             ⎜ ─────    ⎟              ⎜ ─────    ⎟
    ⎜ ─────    ⎟             ⎜ x - 1    ⎟        2     ⎜ x - 1    ⎟
     ⎜ x - 1    ⎟         2   ⎝2      + 1⎠⋅(x - 1)    x⋅⎝2      + 1⎠
    ⎝2      + 1⎠ ⋅(x - 1)

numeric_result = 5.5752e-29
计算\( f^{'}_{+}(1) \)（\( f^{'}(1.01) \)），结果如下
>> [text_result, numeric_result] = func37(1.01)
text_result =
        2                       1                           1
     ─────                   ─────                       ─────
     x - 1                   x - 1                       x - 1
    2     ⋅log(2)⋅log(x)    2     ⋅log(2)⋅log(x)        2
    ────────────────────── - ───────────────────── + ──────────────
                 2            ⎛   1      ⎞              ⎛   1      ⎞
    ⎛   1      ⎞             ⎜ ─────    ⎟              ⎜ ─────    ⎟
    ⎜ ─────    ⎟             ⎜ x - 1    ⎟        2     ⎜ x - 1    ⎟
     ⎜ x - 1    ⎟         2   ⎝2      + 1⎠⋅(x - 1)    x⋅⎝2      + 1⎠
    ⎝2      + 1⎠ ⋅(x - 1)

numeric_result = 0.9901
\( f^{'}_{-}(1)=0 \)，\( f^{'}_{+}(1)=1 \).因为\( f^{'}_{-}(1) ≠ f^{'}_{+}(1) \)，所以\( f(x) \)在\( x=1 \)处不可导.
友链