用Octave计算随机变量的概率密度函数

对于连续型随机变量 $X$，若存在非负可积函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$，其分布函数 $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$ 则称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数。

核心性质

- 非负性：$f(x)\ge0$，对任意 $x\in\mathbb{R}$ 成立；

- 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$（曲线与 $x$ 轴围成的面积为1）；

- 区间概率计算：对任意区间 $[a,b]$，$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)=\int_{a}^b f(x)dx$；

- 单点概率为0：$P(X=c)=0$（$c$ 为任意实数）；

- 导数关系：在 $f(x)$ 的连续点处，$F'(x)=f(x)$（这是由分布函数求密度函数的核心依据）。

计算概率密度函数的3种核心场景

1. 已知随机变量服从常见分布 → 直接套用公式

若已知连续型随机变量 $X$ 服从某一常见分布（如均匀、正态、指数分布），可直接写出其概率密度函数，无需额外计算。

常见连续分布的概率密度函数速查表：

|----------|----------|---------------------|----------|

| 均匀分布 $U(a,b)$ | $a < b$ | $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a\le x\le b \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$ | $x\in\mathbb{R}$ |

| 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu\in\mathbb{R},\sigma>0$ | $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }$ | $x\in\mathbb{R}$ |

| 指数分布 $E(\lambda)$ | $\lambda>0$ | $f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x\le0\end{cases}$ | $x\in\mathbb{R}$ |

例子：若 $X \sim N(2,4)$，则 $\mu=2,\sigma=2$，其概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi} }e^{-\frac{(x-2)^2}{8} }$

2. 已知分布函数 $F(x)$ → 求导得到概率密度函数

由概率密度与分布函数的导数关系，在 $F(x)$ 可导的区间内，直接对分布函数求导即可得到概率密度函数；在 $F(x)$ 不可导的点（如分段点），$f(x)$ 的取值不影响积分结果，通常定义为0。

计算步骤

1. 明确分布函数 $F(x)$ 的分段表达式；

2. 对每一段可导区间，计算 $f(x)=F'(x)$；

3. 整合各段结果，得到完整的概率密度函数。

例子：已知连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $ F(x)= \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{x^2}{2}, & 0 \le x < 1 \\ 2x - \frac{x^2}{2} - 1, & 1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases} $ 求其概率密度函数 $f(x)$。

解：对 $F(x)$ 分段求导 - 当 $x < 0$ 时：$f(x)=F'(x)=0$； - 当 $0 < x < 1$ 时：$f(x)=F'(x)=x$； - 当 $1 < x < 2$ 时：$f(x)=F'(x)=2 - x$； - 当 $x \ge 2$ 时：$f(x)=F'(x)=0$； - 在分段点 $x=0,1,2$ 处，定义 $f(x)=0$（不影响积分）。

最终概率密度函数为 $ f(x)= \begin{cases} x, & 0 < x < 1 \\ 2 - x, & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $

3. 已知随机变量函数 $Y=g(X)$ → 由 $X$ 的密度推导 $Y$ 的密度

若已知 $X$ 的概率密度函数 $f_X(x)$，且 $Y=g(X)$ 是单调可导函数，可通过变量替换法推导 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$。

核心公式（单调函数情形）

设 $y=g(x)$ 严格单调、可导，其反函数为 $x=h(y)$，且 $h'(y)$ 存在，则 $ f_Y(y)= \begin{cases} f_X(h(y))\cdot |h'(y)|, & y\in g(\mathbb{R}) \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $ 其中 $g(\mathbb{R})$ 是函数 $g(x)$ 的值域。

例子：已知 $X\sim U(0,1)$ ，概率密度 $f_X(x)=\begin{cases}1, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，求 $Y=2X+1$ 的概率密度函数。

解：

1. 确定函数单调性：$y=2x+1$ 在 $(0,1)$ 上严格单调递增；

2. 求反函数：$x=h(y)=\frac{y-1}{2}$，导数 $h'(y)=\frac{1}{2}$；

3. 确定 $Y$ 的值域：当 $x\in(0,1)$ 时，$y\in(1,3)$；

4. 代入公式计算： $$ f_Y(y)=f_X\left(\frac{y-1}{2}\right)\cdot\left|\frac{1}{2}\right| $$ - 当 $1<y<3$ 时：$\frac{y-1}{2}\in(0,1)$，$f_X\left(\frac{y-1}{2}\right)=1$，故 $f_Y(y)=1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$； - 当 $y\le1$ 或 $y\ge3$ 时：$f_Y(y)=0$。

最终 $Y$ 的概率密度函数为 $ f_Y(y)= \begin{cases} \frac{1}{2}, & 1<y<3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $

程序代码如下

>> pkg load symbolic
>> y = sym('y');
>> diff((y - 1) / 2, y)
ans = (sym) 1/2

关键注意事项

1. 离散型随机变量无概率密度函数：离散型随机变量的概率规律用分布律 $P(X=x_i)=p_i$ 描述，不能用概率密度函数；

2. 概率密度函数的取值可以大于1：概率密度函数本身不代表概率，只有积分后才是概率，例如均匀分布 $U(0,0.5)$ 的密度函数 $f(x)=2>1$；

3. 分段函数的处理：概率密度函数常为分段函数，计算时需严格按区间分段，避免遗漏或混淆区间范围。

用Octave计算随机变量的概率密度函数

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