用Octave计算全概率公式

全概率公式是概率论中用于计算复杂事件概率的核心公式，它的本质是“化整为零、分情况讨论”：将一个复杂事件拆分成多个互斥的 “子情况”，分别计算每个子情况下该事件的概率，再求和得到最终结果。

公式的前提条件

设样本空间 \(Ω\) 可以被划分为一组两两互斥且完备的事件 \(B_1, B_2, ..., B_n\) （称为样本空间的一个划分），满足：

1. 两两互斥： \(B_i \cap B_j = ∅, i\neq j\) ，即任意两个事件不能同时发生；

2. 完备性： \(B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = Ω\) ，即至少有一个事件会发生。

3. 此外，要求每个事件 \(B_i\) 的概率均大于零：

\(P(B_i) > 0, i=1,2,...,n\)

全概率公式表达式

对于任意事件 \(A\) ，全概率公式表示为：

\(P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + ... + P(A \cap B_n) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)\)

其中，\(P(B_i)\) 表示第 \(i\) 个子情况发生的概率（先验概率）； \(P(A|B_i)\) 表示在事件 \(B_i\) 发生的条件下，事件 \(A\) 发生的概率。

例如：一个仓库有 3 箱零件，第 1 箱有 50 个（次品率 5%），第 2 箱有 30 个（次品率 10%），第 3 箱有 20 个（次品率 15%）。随机抽一箱，再从中随机抽一个零件，求抽到次品的概率。

样本空间划分： \(B_1\)=“抽第 1 箱”， \(B_2\)=“抽第 2 箱”， \(B_3\)=“抽第 3 箱”；

先验概率： \(P(B_1)= \frac{50}{100}=0.5\) ， \(P(B_2)= \frac{30}{100}=0.3\) ， \(P(B_3)= \frac{20}{100}=0.2\) ；

条件概率： \(P(A∣B_1)=0.05\) ， \(P(A∣B_2)=0.1\) ， \(P(A∣B_3)=0.15\) ；

计算： \( P(A) =P(A∣B_1)P(B_1)+P(A∣B_2)P(B_2)+P(A∣B_3)P(B_3) =0.05×0.5+0.1×0.3+0.15×0.2 =0.025+0.03+0.03 =0.085\)

程序代码如下

function ret = get_total_probability(prob_list, conditional_prob_list)
    ret = 0;
    for i = 1:length(prob_list)
        ret += prob_list(i) * conditional_prob_list(i);
    endfor
endfunction

>> get_total_probability([0.5, 0.3, 0.2], [0.05, 0.1, 0.15])
ans = 0.085

用Octave计算全概率公式

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