用Octave计算随机变量的数学期望
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离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量 \(X\) 的分布律为 \(P(X=x_i)=p_i\)（\(i=1,2,\dots\)），且满足级数 \( \sum_{i=1}^{\infty}|x_i p_i|\) 收敛（绝对收敛），则 \(X\) 的数学期望为：\(E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i\)
若级数不绝对收敛，则称 \(X\) 的期望不存在。
例如：掷均匀骰子，设 \(X\) 为骰子的点数，取值为 \(1,2,3,4,5,6\)，每个取值的概率均为 \(\frac{1}{6}\)。\(E(X) = 1\times\frac{1}{6} + 2\times\frac{1}{6} + \dots + 6\times\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5\)
程序代码如下
function ret = get_expectation_discrete(p_list, x_list)
    ret = 0;
    for i = 1:length(p_list)
        ret += p_list(i) * x_list(i);
    endfor
endfunction

>> get_expectation_discrete([1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6], [1, 2, 3, 4, 5, 6])
ans = 3.5000
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的取值是某一区间内的所有实数，需通过概率密度函数积分计算期望。
设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x)\)，且积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}|x f(x)|dx\) 收敛（绝对收敛），则 \(X\) 的数学期望为：\(E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\)
若积分不绝对收敛，则期望不存在。
例如：均匀分布。若 \(X\sim U(a,b)\)（在区间 \([a,b]\) 上均匀分布），概率密度为 \(f(x)=\frac{1}{b-a}\)（\(a\le x\le b\)），则\(E(X) = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{a+b}{2}\)
程序代码如下
function ret = get_expectation_continuous(f, a, b)
    pkg load symbolic;
    syms x;
    try
        ret = double(int(x * f, x, a, b));
    catch
        ret = int(x * f, x, a, b);
    end_try_catch
endfunction

>> a = sym('a');
>> b = sym('b');
>> f = 1 / (b - a);
>> get_expectation_continuous(f, a, b)
ans = (sym)

      2           2
     a           b
  -------- - --------
  2⋅a - 2⋅b   2⋅a - 2⋅b
随机变量函数的数学期望
若 \(Y=g(X)\) 是随机变量 \(X\) 的函数（\(g\) 为连续函数），无需先求 \(Y\) 的分布，可直接通过 \(X\) 的分布计算 \(E(Y)\)：
1. 离散型：\(E(Y)=E[g(X)] = \sum_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i\)
2. 连续型：\(E(Y)=E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx\)
例如：设 \(X\sim U(0,1)\)，求 \(Y=X^2\) 的期望
\(E(Y) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 1 dx = \frac{1}{3}\)
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