用Octave计算随机变量的方差
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方差的定义公式
设随机变量 \(X\) 的数学期望为 \(E(X)\)，则 \(X\) 的方差定义为：\(D(X) = E\left[(X - E(X))^2\right]\)
为了简化计算，可推导得到方差的实用公式：\(D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
离散型随机变量的方差计算
设离散型随机变量 \(X\) 的分布律为 \(P(X=x_i)=p_i\)（\(i=1,2,\dots\)），且 \(E(X)\) 存在，则：
1. 先计算数学期望：\(E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i\)
2. 再计算 \(X^2\) 的数学期望：\(E(X^2) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p_i\)
3. 代入实用公式得方差：\(D(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p_i - \left(\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i\right)^2\)
例如：掷均匀骰子，设 \(X\) 为骰子点数，取值 \(1\sim6\)，概率均为 \(\frac{1}{6}\)。
计算 \(E(X)\)：\(E(X)=3.5\)（之前已算）
计算 \(E(X^2)\)：\(E(X^2) = 1^2\times\frac{1}{6}+2^2\times\frac{1}{6}+\dots+6^2\times\frac{1}{6} = \frac{91}{6}\)
计算方差：\(D(X) = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \approx 2.917\)
程序代码如下
function ret = get_variance_discrete(p_list, x_list)
    EX = get_expectation_discrete(p_list, x_list);
    EX2 = get_expectation_discrete(p_list, x_list.^2);
    ret = EX2 - EX^2;
endfunction

>> get_variance_discrete([1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6], [1,2,3,4,5,6])
ans = 2.9167
连续型随机变量的方差计算
设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x)\)，且 \(E(X)\) 存在，则：
1. 先计算数学期望：\(E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\)
2. 再计算 \(X^2\) 的数学期望：\(E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx\)
3. 代入实用公式得方差：\(D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx - \left(\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\right)^2\)
例如：均匀分布 \(X\sim U(a,b)\)。
\(X\) 的概率密度为 \(f(x)=\frac{1}{b-a}\)（\(a\le x\le b\)）。
- 已知 \(E(X)=\frac{a+b}{2}\)
- 计算 \(E(X^2)\)：
\(E(X^2) = \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}\)
计算方差：
\(D(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{12}\)
程序代码如下
function ret = get_variance_continuous(f, a, b)
    pkg load symbolic;
    syms x;
    try
        ret = double(int(x^2 * f, x, a, b) - int(x * f, x, a, b)^2);
    catch
        ret = int(x^2 * f, x, a, b) - int(x * f, x, a, b)^2;
    end_try_catch
endfunction

>> a = sym('a');
>> b = sym('b');
>> f = 1 / (b - a);
>> get_variance_continuous(f, a, b)
ans = (sym)

                                              2
      3           3     ⎛    2           2  ⎞
     a           b      ⎜   a           b   ⎟
  -------- - -------- - ⎜-------- - --------⎟
  3⋅a - 3⋅b   3⋅a - 3⋅b   ⎝2⋅a - 2⋅b   2⋅a - 2⋅b⎠
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