运输问题是运筹学中线性规划的经典特例，核心解决单一物资从多个产地到多个销地的最优调运问题，目标是在满足产地产量约束和销地销量约束的前提下，使总运输费用最小（也可拓展为总利润最大）。

运输问题本质是最小费用流问题的简化版（源点为产地、汇点为销地，无中间节点），相比通用线性规划，其系数矩阵具有特殊结构，可通过表上作业法（手工计算）、匈牙利法（特殊场景）或软件编程（大规模问题）高效求解，无需求解复杂的线性规划方程组。

- 单一物资调运，产地/销地的产量、销量、单位运费均为已知确定值；

- 运输费用与运输量成正比（线性费用）；

- 物资运输无损耗，调运路径直达（无中间转运）。

设共有 \(m\) 个产地，编号为 \(A_1,A_2,...,A_m\)，第 \(i\) 个产地的产量为 \(a_i\)（\(i=1,2,...,m\)）；

共有 \(n\) 个销地，编号为 \(B_1,B_2,...,B_n\)，第 \(j\) 个销地的销量为 \(b_j\)（\(j=1,2,...,n\)）；

从产地 \(A_i\) 到销地 \(B_j\) 的单位运输费用为 \(c_{ij}\)，调运量为 \(x_{ij}\)（决策变量）。

总供应量 = 总需求量，即 \(\sum_{i=1}^m a_i = \sum_{j=1}^n b_j\)，模型为：

\( \begin{cases} \min Z = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} x_{ij} \quad \text{（目标：总运费最小）} \\ \sum_{j=1}^n x_{ij} = a_i \quad (i=1,2,...,m) \quad \text{（产地产量约束：调运量≤产量，平衡时等于）} \\ \sum_{i=1}^m x_{ij} = b_j \quad (j=1,2,...,n) \quad \text{（销地销量约束：调运量≥销量，平衡时等于）} \\ x_{ij} \ge 0 \quad \text{（非负约束）} \end{cases} \)

- 供过于求：\(\sum_{i=1}^m a_i > \sum_{j=1}^n b_j\)，引入虚拟销地\(B_{n+1}\)，销量为总供应量-总需求量，单位运费 \(c_{i,n+1}=0\)（未调运的物资就地储存，无运费），转化为平衡问题；

- 供不应求：\(\sum_{i=1}^m a_i < \sum_{j=1}^n b_j\)，引入虚拟产地\(A_{m+1}\)，产量为总需求量-总供应量，单位运费 \(c_{m+1,j}=0\)（未满足的销量无运费），转化为平衡问题。

将所有要素整理为运输表，是表上作业法的基础，结构如下（行=产地，列=销地，单元格=单位运费\(c_{ij}\)，右侧=产量\(a_i\)，底部=销量\(b_j\)）：

| 产地\销地 | \(B_1\)(\(b_1\)) | \(B_2\)(\(b_2\)) | ... | \(B_n\)(\(b_n\)) | 产量\(a_i\) |

|----------|-------------|-------------|-----|-------------|-----------|

| \(A_1\) | \(c_{11}\) | \(c_{12}\) | ... | \(c_{1n}\) | \(a_1\) |

| \(A_2\) | \(c_{21}\) | \(c_{22}\) | ... | \(c_{2n}\) | \(a_2\) |

| ... | ... | ... | ... | ... | ... |

| \(A_m\) | \(c_{m1}\) | \(c_{m2}\) | ... | \(c_{mn}\) | \(a_m\) |

| 销量\(b_j\) | \(b_1\) | \(b_2\) | ... | \(b_n\) | 总供需 |