指派问题是运筹学中线性规划的经典特例，属于运输问题的特殊形式，核心解决n个任务分配给n个执行者（人/机器/资源）的最优匹配问题，目标是在每个执行者仅做一个任务、每个任务仅由一个执行者完成的约束下，使总成本最小（也可拓展为总利润最大）。

指派问题的典型特征：产地数m=销地数n，且每个产地的产量、每个销地的销量均为1，调运量\(x_{ij}\)仅取0或1（\(x_{ij}=1\)表示将第j个任务指派给第i个执行者，\(x_{ij}=0\)则相反）。

相比通用线性规划，指派问题可通过匈牙利法（Kuhn-Munkres算法）高效求解，时间复杂度远低于单纯形法，是手工计算和编程实现的首选方法。

- 执行者数=任务数=\(n\)，一一匹配；

- 每个执行者完成每个任务的单位成本（或单位利润）已知且确定；

- 每个执行者仅能完成1个任务，每个任务仅能被1个执行者完成。

设\(n\)个执行者为\(A_1,A_2,...,A_n\)，\(n\)个任务为\(B_1,B_2,...,B_n\)；

\(c_{ij}\)表示执行者\(A_i\)完成任务\(B_j\)的单位成本（若为最大化问题，\(c_{ij}\)为单位利润）；

决策变量\(x_{ij} = \begin{cases}1, & \text{指派}A_i\text{完成}B_j \\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)。

\( \begin{cases} \min Z = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_{ij} x_{ij} \quad \text{（目标：总成本最小）} \\ \sum_{j=1}^n x_{ij} = 1 \quad (i=1,2,...,n) \quad \text{（每个执行者仅做1个任务）} \\ \sum_{i=1}^n x_{ij} = 1 \quad (j=1,2,...,n) \quad \text{（每个任务仅被1个执行者完成）} \\ x_{ij} \in \{0,1\} \quad \text{（0-1约束）} \end{cases} \)

将单位成本\(c_{ij}\)整理为n阶方阵（行=执行者，列=任务），形式如下：

\( C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{n1} & c_{n2} & ... & c_{nn} \end{bmatrix} \)

若为最大化利润问题，需先将利润矩阵转化为成本矩阵。